Función Cuadrática

   Una Función cuadrática es una función Polinómica de segundo grado, cuya  forma general es 

                                                           

   Donde a, b y c son números reales cualesquiera, pero a debe ser siempre distinto de cero, ya que si lo fuera sería una función lineal.

   Al graficar la función cuadrática se obtiene una curva que recibe el nombre de parábola. A continuación se presentan dos ejemplos: 

  

   Las rectas que están dibujadas en color azul son los respectivos Ejes de Simetría, los cuales dividen a la curva en dos partes exactamente iguales (el eje de simetría es la Mediatriz de cualquier segmento cuyos extremos son los puntos de la parábola que tienen la misma ordenada).

    La intersección de la parábola con el eje, se llama vértice. Aclaramos una propiedad fundamental: salvo el esté,  todo punto de la parábola tiene su simétrico respecto del eje. (serán simétricos si ambos poseen el mismo valor de variable dependiente a pesar de poseer valores diferentes de variable independiente) 

Aspectos que serán analizados al momento de graficar una función cuadrática 

• Corte del eje y (también llamado ordenada al origen)
• Corte del eje x (raíces o ceros de la función)
• Extremos (máximos o mínimos de la función; en este caso, el vértice)

   Analizamos cada uno de los ítems antes mencionados

Corte del eje y

  

   La función corta al eje y en el punto y = f (0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0). Reemplazamos en la expresión general de la función 

   En conclusión podemos afirmar que la función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el termino independiente de la función. (Como ya dijimos, este punto es el llamado Ordenada al Origen)

         

Corte del eje x

   La función cortara al eje x, cuando y valga 0. Para hallar los ceros o raíces de las funciones cuadráticas existe una formula llamada resolvente:  

  De la resolución de la anterior fórmula pueden surgir tres posibles resultados, según                   

(el discriminante ) sea: positivo, nulo o  negativo.

   Analicemos cada uno de los casos antes mencionados:

Discriminante Positivo	Discriminante Nulo	Discriminante Negativo
La ecuación posee dos soluciones, por lo tanto la función corta al eje x en dos puntos distintos	La ecuación posee una única solución, por lo tanto la función corta al eje x solo en un punto. Dicho punto es	La ecuación no posee solución en el conjunto de los números Reales, por tanto la función NO corta al eje x

Extremos

   Las parábolas poseen máximos o mínimos, según la concavidad que posea la Función (las ramas se dirijan hacia arriba o abajo), dicho extremo se llama vértice de la función.

   Calculo del Vértice y eje de simetría de la parábola

   Vamos a estudiar cómo se calculan las coordenadas del vértice y la ecuación del eje, el cual es una recta vertical (la cual pasa justamente por el vértice de la parábola).

   Las coordenadas del vértice de dicha parábola dependen de los valores de los coeficientes. Llamaremos V al vértice y sus coordenadas serán :

                                                                                           

   Dada una función cualesquiera, la abscisa de su vértice (valor que adopta en el eje x) puede ser hallada a partir de la siguiente fórmula:

   Una vez calculado x (del vértice), se debe hallar y, para lo cual basta calcular el valor que adopta la parábola para dicho punto  

                                                              

   El eje de simetría dijimos que es una recta vertical que corta la parábola en el vértice, su ecuación es:

   

                       

                                           Función cuadrática from SabrinaDechima